Binarny podział odpadów – matematyczne ujęcie źródeł i wyzwań sortowania

Matematyka jest językiem porządku, a porządek to fundament skutecznego gospodarowania odpadami. Jedną z podstawowych operacji na zbiorach jest podział binarny:

$A \cup B = U, \quad A \cap B = \varnothing$​​

gdzie $U$​ to całość zbioru odpadów, a $A$​ i $B$​ to dwa rozłączne podzbiory. W kontekście gospodarki odpadami takim rozłącznym podziałem jest wyróżnienie dwóch głównych źródeł: odpadów przemysłowych (produkcyjnych) oraz odpadów konsumpcyjnych. Model ten jest podstawą do analizy strumieni odpadów i projektowania systemów logistycznych.

Wyjaśnienie notacji i kluczowych pojęć

📌 Tabela oznaczeń matematycznych używanych w tekście:

📖 Entropia odpadów $H$​ – im wyższa, tym bardziej heterogeniczny strumień odpadów i tym trudniej go sortować i przetwarzać.

📖 Ostatnia mila $C_{L_m}$​ – kluczowy koszt w odbiorze, związany z dojazdem do końcowego punktu zbiórki.

Odpady przemysłowe kontra konsumpcyjne – teoria i praktyka

Komentarz teoretyczny
Strumień $A$​ ma niską entropię $H(A) \approx 0$​, gdyż w zakładach produkcyjnych powstają odpady jednorodne(np. stalowe wióry, folie stretch, pyły z filtrów).Charakteryzuje się też wysoką masowością $M(A) \gg M(B)$​ w jednostce lokalizacji oraz niską wariancją  $\sigma^2(A)$​ .

Strumień $B$​, przeciwnie, jest rozproszony, ma wysoką entropię  $H(B) \gg 0$​ , większą wariancję składu i nieprzewidywalność. To generuje wzrost kosztów odbioru i konieczność stosowania bardziej zaawansowanych strategii optymalizacyjnych.

Przykład praktyczny:
– Fabryka mebli: w jednym miejscu powstaje miesięcznie 120 ton trocin (jedna frakcja, łatwa do recyklingu).
– Osiedle 5 tys. mieszkańców: miesięcznie ok. 800 ton śmieci w kilkunastu frakcjach, trudnych do rozdzielenia i zanieczyszczonych.
Wniosek: koszt recyklingu na tonę w przypadku fabryki jest 2–3 razy niższy niż w przypadku osiedla.

Odpady przemysłowe kontra konsumpcyjne w ujęciu informacyjnym

Odpady przemysłowe są przykładem strumieni o niskiej entropii informacyjnej: 
​$H(A) \approx 0$​
​

ponieważ składają się zazwyczaj z jednorodnych materiałów produkcyjnych, powstających w dużych wolumenach w fabrykach i magazynach. Ich wysoka masowość i niska zmienność $\sigma^2$​ bliskie zera, ułatwiają parametryzację i projektowanie procesów recyklingowych. W praktyce przekłada się to na wyższy współczynnik odzysku $R$​ na jednostkę masy przy niższym koszcie $\frac{C}{M}$​ .

Odpady konsumpcyjne, odwrotnie, cechują się wysoką entropią:

​$H(B) \gg 0$​​

dużym rozrzutem i większą trudnością w klasyfikacji. Strumień jest rozproszony przestrzennie, a jego rozkład zbliżony do rozkładu Poissona (przy wysokim $\lambda$​ ,co oznacza dużą liczbę punktów generujących małe ilości odpadów. Takie warunki zwiększają koszty obsługi per jednostkę masy oraz komplikują modele logistyczne (wzrost liczby zmiennych $n \to \infty$​ .

Odpady automotive jako przykład graniczny

Warto wyróżnić odpady z eksploatacji pojazdów (automotive).Obecnie klasyfikowane jako konsumpcyjne $B$,w miarę rozwoju flot leasingowych i mobilności współdzielonej oraz odejścia od modelu własnościowego mogą zostać przesunięte do zbioru $A$.To przesunięcie wpływa na projektowanie logistyki i ekonomię skali w przetwarzaniu odpadów z tej branży.

Ekologistyczna „ostatnia mila” – wąskie gardło systemu

Komentarz teoretyczny
Ostatnia mila w odpadach to analog problemu komiwojażera (TSP): jak odwiedzić wszystkie punkty $n$​, minimalizując łączny koszt $\sum C_i$​. Koszt ostatniej mili w Polsce szacuje się na ponad 50% całości kosztów gospodarki odpadami w gminach. Minimalizacja  $C_{L_m}$​ wymaga stosowania algorytmów optymalizacji tras (np. algorytmy zachłanne, heurystyki, programowanie liniowe), a także projektowania rozproszonych węzłów zbiórki, zmniejszających liczbę punktów odwiedzanych przez śmieciarki.

Przykład praktyczny:
– Typowa śmieciarka w mieście wykonuje trasę 35 km i 120 zatrzymań.Koszt paliwa, amortyzacji i pracy ekipy na tej trasie to ok. 1400 zł.
– Po wdrożeniu lokalnych punktów zbiórki liczba zatrzymań spada do 25, a koszt trasy do ok. 750 zł.

Ekologistyczna „ostatnia mila” – optymalizacja krytycznego odcinka

W systemach odbioru odpadów ostatnia mila  $L_m$​ jest najbardziej kosztownym etapem, często odpowiadającym za ponad 50% kosztów całego systemu:

​$\frac{C_{L_m}}{C_{tot}} > 0.5$​​

Ekologistyczna ostatnia mila dotyczy finalnego etapu odbioru odpadów konsumpcyjnych z rozproszonych źródeł i jest wąskim gardłem całego systemu. Matematycznie można to opisać jako problem minimalizacji funkcjonału:

​$\min_x \int_0^T C_{L_m}(x(t))\, dt$​​

przy warunkach brzegowych: $x(0) = x_0, \quad x(T) \in \text{centra przetwarzania}$​ .

Rozproszony charakter odpadów oznacza większą entropię i koszty. Dlatego optymalizacja tras, harmonogramów i punktów odbioru jest kluczowa dla redukcji kosztów środowiskowych i ekonomicznych.

Systemy i modele – polskie realia i globalne adaptacje

Polska wdrożyła pięciofrakcyjny system odbioru odpadów komunalnych, który działa jak deterministyczny model segregacji. System ten osiąga przyzwoite poziomy recyklingu, lecz rosnące koszty marginalne wymuszają jego dalszą optymalizację.

W krajach o niskiej gęstości zaludnienia lub wyspiarskich warto rozważyć modele hybrydowe, w których lokalne punkty zbiórki $P_i$​ są koordynowane centralnie. Takie podejście redukuje sumaryczny koszt ostatniej mili:

​$\sum C_{L_m} \to \min$​​

W Polsce dzięki wysokiej urbanizacji i sieci dróg system pięciofrakcyjny działa sprawnie, choć staje się coraz droższy. W krajach wyspiarskich, jak Filipiny czy Malediwy, albo w terenach górskich (Nepal), gdzie $\rho < \rho_c$​ , korzystniejsze są modele hybrydowe z lokalnymi punktami zbiórki $P_i$​ , które zmniejszają długość tras i koszty. W Japonii (Kamikatsu) mieszkańcy samodzielnie segregują odpady na 34 frakcje, redukując entropię już u źródła – to przykład społecznego podejścia do minimalizacji $H(S_{in})$​ .

Pawilony EKO AB – lokalna redukcja entropii

Pawilony EKO AB można traktować jako zdecentralizowane węzły sortujące $W_i$​ zlokalizowane na poziomie osiedla. Każdy pawilon działa jak punkt $P(W_i)$​ ,w którym manualna dekodacja strumienia pozwala uzyskać frakcje o wysokiej czystości $f_1, f_2, \dots, f_n$​ .

​$H_{\text{EKO AB}}(S_{out}) < H_{\text{standard}}(S_{out})$​​

oraz

​$C_{\text{EKO AB}}(t) \le C_{\text{standard}}(t)$​​

Pawilony są szczególnie efektywne przy gęstości zaludnienia $\rho > \rho_c$​ , gdzie $\rho_c$ jest krytycznym progiem rentowności. Pawilon $W_i$​ działa jak lokalny węzeł redukujący entropię $H(S_{in})$​ już na poziomie osiedla. Obsługiwany przez pracownika punkt sortuje odpady na kilkanaście frakcji, zwiększając współczynnik odzysku $R$​ do 80%, podczas gdy klasyczne systemy osiągają ok. 20–30%.

Przykład praktyczny:
– Osiedle 650 mieszkańców: pawilon EKO AB pozwala zmniejszyć ilość odpadówzmieszanych z 350 ton rocznie do 70 ton i zwiększyć przychody ze sprzedażysurowców z 0 do ok. 80 tys. zł rocznie.
Wartość strumienia wyjściowego wzrasta dzięki jakości segregacji.

Wnioski i rekomendacje

Matematyczne spojrzenie na gospodarkę odpadami pozwala precyzyjniej definiować problemy i projektować rozwiązania zoptymalizowane zarówno kosztowo, jak i środowiskowo. Polska dzięki gęstej infrastrukturze może utrzymać system jednolity, ale dalszy wzrost kosztów sugeruje poszukiwanie rozwiązań hybrydowych (np. pawilonów EKO AB).

Kluczowe rekomendacje:

• Modelowanie zależności między gęstością zaludnienia $\rho$ a kosztem ostatniej mili $C_{L_m}$,
• Analiza opłacalności punktów $P (W_i)$ dla różnych typów zabudowy,
• Edukacja mieszkańców w zakresie redukcji entropii strumienia wejściowego odpadów $S_{in}$.

Matematyka w sortowaniu odpadów to nie tylko analiza ton i kilogramów, ale także praca z funkcjami losowymi, grafami i optymalizacją. Im lepiej rozumiemy logikę systemu, tym skuteczniej możemy porządkować chaos.